作者简介：杨令强(1972-)，男，山东人，天津大学建工学院水利水电系博士研究生。

峡谷地段修建的高拱坝，其泄洪消能布置往往要设置水垫塘，水垫塘衬砌的底板有平底板和反拱底板两种，平底板的稳定问题，现在已研究得比较清楚，反拱底板在近几年得到广泛应用，主要是因为底板拱结构抵抗破坏的能力强，稳定性要优于平底板。但是由于反拱底板面积比较大，在施工过程中要设置温度缝和施工缝，因此反拱底板被分成一系列相互独立又相互联系的板块，其受力过程表现为一种高度的非线性，特别是在止水破坏后，各板块相互撞击、滑动表现为典型的接触行为，计算相当复杂。崔广涛等从理论分析和模型实验两方面论证了反拱型底板的受力条件好，其稳定性优于平底板；刘沛清等也对反拱型底板的稳定性进行了研究，并提出了相应的稳定计算模式。但是他们只是把衬砌块作为刚体，把块间连接看作“铰”(其实是一种机构)，或者把整个水垫塘结构看作一个三铰拱或无铰拱，和实际的块间结构有很大的区别，本文利用接触单元来模拟相邻板块间的接触，接触单元可以模拟块间的接触、咬合、摩擦、分离、撞击等不同状况，特别是在止水结构破坏后，衬砌块结构下部受到方向向上的脉动压力和时均压力，拱的作用表现出来，并且衬砌块与基岩之间的锚固钢筋开始作用，这时的反拱底板整体可以看作是一个“反吊拱”。利用弹簧单元来模拟锚固到基岩中的钢筋，进行有限元计算，得到比较理想的结果。

1 有限元单元形式的选择以及非线性接触理论

接触是一种高度的非线性行为，由于考虑摩擦使问题变得困难起来。接触单元是覆盖在模型接触面上的一层单元，有限元模型通过指定接触单元来识别可能的接触匹对，本文所使用的接触单元为三节点单元，如图1所示。这种单元形式不受接触形状的限制，使用范围广，这种单元实际上是一种点对线接触，k点为接触点，ij为目标线。不过可以用它来模拟线对线的接触，因为可以把线指定为一组节点。对于水垫塘衬砌块，由于其相邻块之间地位相同，可以用对称接触来模拟，即先选择a线作为目标线，b线上的点作为接触点，形成接触对，然后再反过来利用b线作为目标线，a线上的点作为接触点，形成另一组接触对。

单元坐标如图2所示，单元法向量和单元切向量分别为：

式中：{v}:ij与整体坐标x-y平面的方向角；{x_i}、{x_j}：i、j点的位置向量；l:目标单元的长度。

接触点与目标面的距离为：

式中：{x_k}:k点的位置向量。

当两板块接触时k点沿n方向运动，受到目标面法向应力的限制，沿s方向的运动受到目标面摩擦力的限制，本文中的摩擦类型选为库仑摩擦类型，程序中提供了一个不管接触压力的值，而人为提供等效剪应力的选项，如果剪应力达到之，滑动发生。在求摩擦力之前，需要求出接触点相对于目标面的切向位移

式中：s₀^*上步求解过程中的接触位置。

其实这个位移是由粘性位移和滑动位移两部分组成，即为粘性位移，为滑动位移。

摩擦力为：

在粘性阶段：fs=kt<Ffs
在滑动阶段：fs=fs	(6)

式中：k_t:粘结刚度，f_s库仑摩擦类型的静态摩擦限值(f′_s=-μf_n)，μ为摩擦系数，F为静态到动态转化摩擦因子。

向力可以通过罚函数法或罚函数和拉格朗日联合法来实现，这时力将加到节点上，直接触点穿透进入目标面。如图3所示。

罚函数法：

式中：k_n为法向接触刚度。

罚函数和拉格朗日联合法：

式中：λ_i+1为节点在i+1处的拉格朗日增值因子，当｜g｜<ε时，λ_i+1=λ_ii+αk_ng；当｜g｜>ε时，λ_i+1=λ_i。ε为容限因子，α为材料因子(α<0)。

为方便求单元的刚度矩阵和荷载向量，引入两个向量

由图3在法向上列平衡方程是：

同理，由切向得：

写成向量的形式为：

单元的刚度矩阵为：

在粘性阶段：

在滑动阶段：

在未接触阶段：

式中：K_s为切向接触刚度。

弹簧单元能在轴向上承受拉压力和扭矩，本文所用的是二维弹簧元，每个单元由两个节点构成，每个节点有两个自由度。

2 计算实例

本文结合溪洛渡水垫塘进行计算，工程概况为：水库的正常蓄水位600.00m，相应库容为115.7亿m³，最大坝高278m，装机容量初步拟定12600MW。拦河大坝为混凝土双曲拱坝，最大坝高278m；泄水建筑物有坝身7个表孔(12.5×11m)和八个深孔(6×6.7m)，具有“高水头、大泄量、窄河谷”的特点，最大泄洪功率高达100 000MW，60%的洪水通过坝身渲泄，坝身泄量达30000m³/s，坝身的表孔和深孔的最大单宽流量超过200m³/s。水垫塘衬砌每块园心角8.64,半径81.25m，分为9块，厚度为4m。

在止水结构未破坏以前，衬砌块承受向下的水荷载作用，其实可看作是作用在弹性地基上的梁(或板)，利用接触单元模拟板块之间的连接，用四边形单元模拟板块，得到有限元模型如图4，当止水结构破坏后，水垫塘底板受到向上的脉动压力和时均压力，拱的作用表现出来，并且衬砌块与基岩之间的锚固钢筋开始作用，利用四边形单元模拟板块，接触单元模拟板块之间的连接，弹簧单元模拟锚固锚筋，得到有限元模型如图5。计算结果如表1、2、3、4和图6所示。

图3 接触单元受力分析	图4 止水破坏前有限元	图5 止水破坏后有限元	图6 止水破坏后反吊拱在40米水压力下的变位

表3 止水破坏前拱端设缝与未设缝情况下的主应力大小位置比较

表4 反吊拱衬砌块需要提供的锚固力

3 结论与讨论

通过本文的计算可以得到如下结论：(1)由表3知，对于底板混凝土强度是没有问题的。(2)由表2知，在温升和止水结构破坏后，拱端承受的推力是相当大的，这和试验数据项一致^[2]。因此应该在拱端块和拱端支座之间设缝，这将使拱端力减小，但是缝宽不能太大，太大反拱起作用太慢，并且由表1得，缝宽在1cm即可。(3)由图6可知，对于止水完全破坏的反吊拱，最大位移出现在距坝端的第二块。这已由模型实验所验证^[2]。所以这两块应是设计中锚固的重点。(4)反拱底板的锚固力比平底板要少20%以上，反拱底板是一种安全经济合理的结构形式。(5)用接触元模拟水垫塘衬砌块之间的接缝是可行的。

致谢：在本文的完成过程中得到崔广涛先生的指导和帮助，在此表示感谢。

参 考 文 献：

[1] 朱伯芳.有限元原理与应用(第二版)[M].北京：中国水利水电出版社，1998，10.

[2] 练继建，杨令强，等.溪洛渡水垫塘水弹性模型实验(中间报告)[R].天津：天津大学，2000，12.

[3] 刘沛清.泄水建筑物消能防冲论文选集[M].北京：中国科学技术出版社，2000.

[4] Johnson K L. Contact Mechanics[M].Cambridge University Press,1985.

[5] Kohnke Peter.Ansys Theory Reference Release5，6[R].1999.